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Sunday, December 11, 2011

El determinante

El determinante es un importante objeto algebraico que todo estudiante a un nivel de Bachillerato conocerá. Debe recordar que puede ser usado para determinar la dependencia o independencia lineal de un conjunto de vectores, y quizás, recuerde la regla de Sarrus. Sin embargo, no suele darse una interpretación que permita entender cuán natural este objeto realmente es. Veamos, pues, tal interpretación.
En el plano, el determinante de dos vectores coincide, salvo signo, con el área de un paralelogramo cuyos lados no paralelos vienen dados por los dos vectores en cuestión. Esto es generalizable al espacio, considerando esta vez tres vectores y el volumen de un paralelepípedo, tal y como se muestra en las siguientes ilustraciones:
 
 


Con esto en mente podemos entender de una forma intuitiva el comportamiento del determinante. Si el determinante de 3 vectores fuese nulo, el volumen del paralelepípedo sería 0. Esto es, los tres vectores estarían confinados en un plano, lo que implica necesariamente la dependencia lineal.
Desde otro punto de vista, una matriz cuadrada representa una transformación lineal de un espacio vectorial en sí mismo. Así, la matriz A transforma un vector (x,y) en un vector (x', y') mediante el producto de matrices:
\displaystyle \left(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right)
De esta forma, el determinante de la matriz A es el factor por el que se escalan las áreas. Por ejemplo, una matriz de giro tendrá determinante 1 por ser un movimiento que conserva el área. Supongamos entonces que det(A)=0. Entonces la matriz A transforma los conjuntos en conjuntos con área nula. Esto significa, en particular, que transforma el plano en una recta o un punto, por lo que la transformación lineal no será inyectiva y la matriz A no será invertible.
De una forma similar, puede razonarse que el determinante de un producto de matrices cuadradas es el producto de los determinantes.
Generalización (Avanzado)
Queremos generalizar la noción intuiva ya descrita de determinante. Para ello veremos algunas propiedades elementales del determinante, y formularemos la definición abstracta.
En primer lugar. al transponer dos vectores el determinante cambia su signo. Sobre esto hablaremos otro día.
Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar, el área del paralelogramo queda multiplicado por dicho escalar, y por tanto el determinante también. Esto es det(\lambda \vec{u}, \vec{v}) = \lambda det(\vec{u}, \vec{v}).
Ahora bien, si a un vector le sumamos una combinación lineal de los demás, el determinante no varía. Simplemente note como los triángulos delimitados por la línea de puntos coinciden:
Esto justifica el siguiente hecho fundamental: det(\vec{u}+\vec{v}, \vec{w}) = det(\vec{u}, \vec{w}) + det(\vec{v}, \vec{w}).
Con la siguiente explicación intuitiva:

Por consiguiente, el determinante es lineal respecto a cada componente.
Una vez entendidas intuitivamente las propiedades del determinante, podemos entender la caracterización abstracta. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo \mathbb{K}. Podemos caracterizar el determinante, salvo factor multiplicativo, como una n-forma multilineal alterna \psi: V^n \rightarrow \mathbb{K}.
Para caracterizarlo unívocamente, establecemos que el determinante de alguna base, generalmente la canónica, es la unidad. En una explicación posterior, profundizaremos en las formas multilineales, el signo del determinante y por qué el determinante queda caracterizado de esta forma.

Fuente ::  http://lasingularidad.wordpress.com/   

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